1.     ความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่    เพราะเหตุใด

                      1.1  { ( 5, 1 )  ,  ( 3, 2 )  ,  ( 1, 3 )  ,  ( 0, 1 ) } 

         ตอบ  เป็นฟังก์ชัน   เพราะสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน

                      1.2 { ( 2, 1 )  ,  ( 3, 1 )  ,  ( 4, 1 ) }   

         ตอบ  เป็นฟังก์ชัน   เพราะสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน

                      1.3  { ( 3, 0 )  ,  ( 3, 1 )  ,  ( 2, 5 ) }                

         ตอบ  ไม่เป็นฟังก์ชัน   เพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน 

2.   กำหนดให้  A   =  { 1,2,3,4,5 }  และ  B   =   { a , b ,c, d }  ความสัมพันธ์ข้อใดต่อไปนี้   เป็นฟังก์ชันจาก  A  ไป  B

                         r   =   { ( 1, a )  ,  ( 2, b )  ,  ( 3, a )  ,  ( 4, c )  ,  ( 5, b ) }

            ตอบ     1.   r  เป็นฟังก์ชัน

2.   D_r  =  { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }  =   A               

                               3.   R _r  =  { a , b , c }  เป็นสับเชตของ B

                    ดังนั้น  r เป็นฟังก์ชันจาก  A ไป B  (สอดคล้องตามนิยาม)

3.   r = { (1,2) , (2,2) , (3,4) ,(6,1) }  จงหาโดเมนและเรนจ์

      ตอบ     D_r  =  { 1 , 2 , 3 , 6 }

                   R _r  =  { 1,2,4 }

4.   r = { (5,6) , (2,3) , (1,5) ,(6,1) }  จงหาโดเมนและเรนจ์

    ตอบ       D_r  =  { 1 , 2 , 5 , 6 }

                  R _r  =  { 1, 3 , 5 , 6 }

5.   { ( x , y )   |  y = 2x }  จงหาโดเมนและเรนจ์

    ตอบ     D  =   R

                R   =   R

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^-1
เขียน r^-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r^-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r^-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน  สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y₁) ε f และ (x, y₂) ε f แล้ว  y₁ = y₂

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้

วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x, y)  และมีเงื่อนไข  r(x, y)  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(x, y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y)  และ  r(x, z) พิจารณา
1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(x, y) | y = 2x + 1}          เป็นต้น

2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง

พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)

ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)

ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f  ε B

สัญลักษณ์      f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B  อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    D_f = A
3)    R_f = B

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น  D_r = {x | (x, y) ε r}
2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น  R_r = {y | (x, y) ε r}